在工科领域，人们常常会考虑三维空间中的物体有六个自由度。例如，上图展示的是一个右手坐标系，其中包含沿X、Y、Z轴的直线自由度和绕这三个轴的旋转自由度。然而，这并不意味着为了实现任意角度加工，我们就必须拥有六个轴或六个自由度。这是问题的关键。
传统的三轴机床在处理复杂形状或多孔结构时，需要通过特殊夹具或者多次切换来确保工具能从不同方向接触工件。而五轴联动数控机床则可以在单次装夹下进行高速、高精度加工，即使是复杂形状。
实际上，五轴机床并不是因为要达成任意角度加工，而是在三轴基础上增加了两个旋转轴。通常情况下，这两个额外的旋转轴被称为A和B軸，它们分别对应于X-Y-Z三个直线軸上的两种不同的旋转方式。在五軸加工中，由于这些额外的旋转，使得刀具（或测头）的位置和姿态都能够改变。
描述刀具（或测头）姿态时，就涉及到“刀钻矢量”的概念。这是一个三维单位向量(i, j, k)，其中每个元素代表了刀钻方向在X、Y、Z三个方向上的投影值。由于这是一个单位向量，其模长为1，所以它所表示的一个球面上所有可能位置构成了一个球面。而任何一条刀钻矢量都可以通过空间中两个不共线直线之间的相互旋转得到。
与此同时，在描述地球表面的某一点时，只需经纬两项即可确定其位置，并且这两项分别对应于两个独立的变量，因为它们之间没有直接关系。此外，还有一种隐式表达方式，也就是使用XYZ坐标系，但这也只需要两个独立变量来确定点位。
因此，由于只有两个独立变量决定了球面上的点位，因此我们只需要考虑二阶自由性去定义一个特定的点位朝向XYZ三个方向投影值作为定义工具（或测头）姿态所需用到的数据结构——刀钻矢量。如果将这个过程想象成在地图上寻找特定地点，用经纬两者就足以定位，而第三维信息如海拔高度则不必关注，以此类推，我们也可以理解为什么仅用二阶自由性即可完成任务，不必再加第三阶规律性的限制条件，从而解释为什么我们选择5-6自由度之分而非6-7等待进一步探讨的问题背后原因。在实际应用中，每一次操作都要求精确控制，并且系统能够根据预设程序中的规定来调整这些参数，以确保最终达到目的地，无论是在高科技制造业还是其他领域皆如此重要的一环。
因此，可以看出，对于如何描述一种设备——数控机床——用于操控另一种设备——工作台——以便执行特定的任务，如雕刻3D模型，那么我们看到对于工作台来说，有6种基本运动：前进/后退、左/右移动以及倾斜；但对于雕刻工具来说，有6种运动：沿x,y,z主通道移动以及围绕x,y,z主通道倾斜。但实际操作中并不是简单地把每一条路径都逐步加到最后一步；而是利用数学方法优化整个路径，使得整体时间尽可能短，同时保证一定程度的手术质量。
总结一下，我希望我的文章能帮助你更好地理解这个问题。你是否还有其他疑问？
