在工科生心中，通常有这样一个概念：三维空间中的物体具备6个自由度。例如，上图所示的坐标系为右手坐标系，其中六个自由度分别是沿X、Y、Z轴的直线运动和绕这三个轴旋转的角度。
然而，这并不意味着为了实现空间任意方向加工，机床必须拥有6个自由度或轴。这是问题的关键。传统三轴机床在加工复杂表面或孔形件时，需要特殊夹具和多次工序变换。但五轴联动数控机床可以在单次装夹下进行高速、高精密加工。
五轴数控机床通过控制刀具（或测头）的位置和姿态来实现工件加工（或测量）。因此，关键问题是如何描述刀具（或测头）的位置和姿态。在三轴数控机床中，虽然刀具位置变化，但其姿态固定。而五轴机床添加了两个旋转轴，可以改变刀具（或测头）位置及姿态。
为了描述加工过程中的刀具（或测头）姿态，就产生了“刀术矢量”这个概念。它是一个三维单位向量(i, j, k)，表示每个元素对应于直线X、Y、Z方向上的单位向量投影值。由于模长为1，它构成了一个球面，而任意方向都可由两个不共线直线軸旋转得到，如经纬度一样。
因此，由两个旋转角即可确定球面上的一点，从而描述任何复杂曲面的加工。这就是为什么只需在三轴基础上增加两个旋转軸，即可实现任意方向接近被加工物体，从而达到任意复杂曲面的加工目的。而这样的设备，就是我们称之为五軸聯動數控機床。
最后，对于欧拉角的问题，我们需要明确的是，在飞机空间姿态描述时使用三个欧拉角，因为它们涉及到三个独立的旋转，而对于描述刀术矢量，只需考虑两种独立的移动，因为它们与主导航相关，不同于飞行器翻滚情况下的roll角。
以上内容希望能帮助理解二者的区别。
