在工科生心中，通常有这样一个概念：三维空间中的物体具备6个自由度。例如，上图所示的坐标系为右手坐标系，其中六个自由度分别是沿X、Y、Z轴的直线运动和绕这三个轴旋转的角度。
然而，这并不意味着为了实现空间任意方向加工，机床必须拥有6个自由度或轴。这是问题的关键。在传统三轴加工机床中，为了处理复杂表面或具有多孔结构的零件，往往需要使用特殊夹具进行多次操作。而五轴联动数控机床能够通过单次装夹完成高速、高精度加工。
实际上，是刀具（或测头）能从任意方向接近工作件，使得机床能够实现任意角度加工。因此，我们关注的是如何描述刀具（或测头）的位置和姿态。
在三轴数控机床中，虽然刀具（或测头）的位置变化，但其姿态保持不变。例如，在立式三轴机床中，刀锥方向始终沿着Z轴方向移动，而X、Y、Z三个直线运动足以定义刀具（或测头）的位置和姿态。
相比之下，一般五轴机床增加了两个旋转軸A、B与C对应于X-Y-Z平面的旋转。这些额外的旋转允许刀具（或测头）改变其姿态，从而适应更复杂形状的零件。此时，可以通过两种方式来描述五元组中的任何一个点：球面坐标系或者直角坐标系，每种都包含两个独立参数来确定点位，同时满足一定条件，即模长为1.
因此，在实际应用中，只需确保控制系统能够解算出这两个参数即可使得切削工具按照预定路径运动到特定的位置，并且可以从任何可能角度切割材料。这就是为什么我们说只有5个自由度就足够控制5元组上的所有点，从而执行各种复杂工艺任务，而不是需要6个自由度才能达到相同效果。
最后，我想澄清一下与图形学中的欧拉角相关的问题。在飞行器等场合，我们通常会用欧拉角(yaw, pitch, roll)来描述空间姿态，因为它们涉及到三个独立变量。但对于五元组来说，由于roll不影响最终结果，我们只需要考虑yaw和pitch就能得到所需信息，因此只需2个参数即可确定每一点的情景，这也是为什么我们总结说没有必要再增加第六根柱子去完成所有可能性的动作，因为现有的系统已经完全有效地支持了这个目的。
