在工科生心中，通常会有这样一个概念：三维空间中的物体具有6个自由度。就像右手坐标系那样，这六个自由度分别是沿着X、Y、Z三个轴的直线自由度，以及绕这三个轴的旋转自由度。然而，这并不是说为了实现任意角度加工，我们必须拥有6个轴。
传统三轴机床在处理复杂表面或多孔件时，需要使用特殊夹具和重复变换过程来使刀具从各方向接触工作件。但是，五轴联动数控机床可以在单次装夹下进行高速、高精确加工。
实际上，是刀具（或测头）的位置和姿态决定了它是否能从任意角度接近工作件。而机床通过控制刀具（或测头）的位置和姿态来完成工作件的加工（或测量）。因此，最关键的问题是如何描述刀具（或测头）的位置和姿态。
三轴数控机床只能改变刀具（或测头）的位置，而保持其固定姿态。在这个过程中，通过X、Y、Z三个直线轴的坐标值，可以完全确定刀具（或测头）的位置和姿态。
相比之下，五轴数控机床添加了两个旋转轴A、B，可以包含A、B两个旋转軸中的任何一个。这意味着，在五轴加工中，由于这两个额外的旋转軸，刀具（或测头）的位置和姿态都将发生变化。由于存在这些新的自由度，我们可以更灵活地控制刀具以实现任意方向切割或者检测。
为了描述这种变化，我们引入了“工具矢量”这一概念，它是一个表示工具朝向的单位向量，其中每个元素代表工具朝向与直线X、Y、Z方向投影值。这个矢量模长为1，所以所有可能顶点构成一个球面。在这个球面上，每个点对应一个唯一的工具矢量方向，可以由另两个不共线平面的两种方式获得：经纬度系统，或称显式表达；或者用直角坐标系，如隐式表达，但仍然只有两个独立参数，因为它们之间有隐性约束关系，即X2+Y2+Z2=1。
因此，只需增加两组新的旋转軸，就能够控制工具从空间中的任何方位接近被加工对象，从而实现复杂曲面的高效加工。此外，用这样的配置设定好的数控系统能根据预先设定的规则指导运动学反解，以得到所需两组新加轮廓轮廓及剩余轮廓后的最终产品形状，并执行相应步骤，以确保最佳结果输出。
当然，不同领域的人可能会用不同的术语来描述相同的事物，比如图形学里欧拉角的问题。
例如，当讨论飞行器时，他们使用欧拉角包括偏航(pitch)、俯仰(roll) 和翻滚(yaw)，如下图所示。
为什么要考虑3个欧拉角而非仅仅2呢？
原因是在描述飞行器时，如果我们只考虑二维场景，那么即使只是简单水平移动，也需要至少3D空间内的一个额外维度来定义其高度，因此无法避免第三维带来的困难。
但是在讨论5-axle CNC machining 时情况不同，因为主导结构及其运动都是围绕x,y,z 轨迹展开，因此我们并不关注z 轨迹上的翻滚行为，因为那不会影响到我们的基本任务——即产生特定的x-y-z 平面上的切割路径。
总结来说，不同应用场景下的问题分析方法有时候会导致不同的理解方式，但本质上都是基于数学原理建立起来的一套理论框架。如果你对此类技术细节还有疑问，请继续提问，我很乐意进一步帮助你理解这些复杂的话题！
